Hasta ahora hemos supuesto que las ondas se propagaban sin encontrar ningún obstáculo en su camino, en medios sin límites. Es lo que llamábamos ondas viajeras. Sin embargo, hay casos en los que la propagación se produce en medios cerrados, produciéndose reflexiones en los extremos del mismo que se superponen unas a otras. Estas superposiciones, que no son más que un caso particular de interferencias de ondas, pueden dar lugar a ondas estacionarias y tienen un perfil y unas características muy particulares que vamos a estudiar en este apartado a través de:

  • Concepto de onda estacionaria
  • Ecuación de la onda estacionaria
  • Nodos y vientres de una onda estacionaria.
  • Ondas estacionarias en cuerdas fijas por los dos extremos y en tubos abiertos y cerrados

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ONDAS ESTACIONARIAS

1. CONCEPTO DE ONDA ESTACIONARIA

ONDA ESTACIONARIA - IDEAS PREVIAS

Las ondas estacionarias resultan de la superposición de dos ondas idénticas (misma amplitud, frecuencia y longitud de onda) que se propagan en el mismo medio en sentidos opuestos y con oposición de fase.
Los puntos en los que se producen interferencias constructivas (vientres) y destructivas (nodos).
Las ondas estacionarias se caracterizan por lo siguiente:

1. Aparecen puntos en estas ondas en los que la interferencia es nula (nodos). Estos puntos siempre aparecen como mínimo en los extremos fijos.
2. La onda resultante no viaja (de ahí su nombre: estacionaria) ya que la energía no puede avanzar a través de los nodos.
3. En un medio limitado por ambos lados no puede producirse cualquier onda, sino sólo las que originen nodos en los extremos fijos del medio. Las frecuencias para las cuales se originan las ondas estacionarias son las frecuencias propias o resonantes.

Al no existir transporte de energía, no podemos considerar las ondas estacionarias como ondas en sentido estricto.

En los instrumentos de cuerda producen ondas estacionarias con nodos en los extremos mientras que los instrumentos de viento producen ondas estacionarias con vientre en uno o en los dos extremos, según sean instrumentos con un extremo abierto y otro cerrado, como el clarinete, o con los dos extremos abiertos, como la flauta.

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ONDAS ESTACIONARIAS

2. ECUACIÓN DE LA ONDA ESTACIONARIA

ONDA ESTACIONARIA - ECUACIÓN

La ecuación de la onda estacionaria, como la de cualquier interferencia en un punto, surge por superposición de las dos ondas que la originan. Sumando las ecuaciones de las dos ondas obtendremos la de la onda estacionaria. Esto es:

Comparándola con la ecuación de un movimiento ondulatorio,

, se deduce que:

  • La amplitud de la onda estacionaria es variable: A’= 2ª cos kx. Cada punto del medio está sometido a un movimiento vibratorio cuya amplitud (A’) depende de su distancia al origen.

  • La frecuencia, ω, es la misma que la de la onda original

  • Cuando la amplitud es nula, A’=0, los puntos no vibran y se denominan nodos y cuando la amplitud es máxima: A’= 2A, los puntos se denominan vientres o antinodos.

A partir de estas ecuaciones podremos definir los conceptos de vientre y nodo en una onda estacionaria

ONDAS ESTACIONARIAS

3. VIENTRES Y NODOS EN LA ONDA ESTACIONARIA

ONDA ESTACIONARIA - VIENTRES Y NODOS

En los nodos, la amplitud es cero, cosa que ocurrirá cuando cos kx=0, por lo que los valores posibles de kx serán: kx=(2n+1)∙π/2 ; y puesto que k=2π/λ, podemos encontrar la relación entre las posiciones x y la longitud de la onda estacionaria, de modo que los nodos se encuentran ubicados en:

Los vientres o antinodos son los puntos donde la amplitud es máxima, ya que A’= ± 2A. Para que esto suceda se debe satisfacer la condición de que cos kx = 1, por lo que los valores posibles de kx serán: . Como, además, k = 2π / λ, tenemos que los antinodos o vientres se encuentran ubicados en:

 

Dos nodos sucesivos y dos vientres sucesivos están separados entre sí λ/2 , y la separación entre un nodo y un vientre sucesivo es λ/4

Las ondas rosa y azul son ondas idénticas, es decir, tienen igual amplitud, frecuencia y longitud de onda pero sentido contrario. Este fenómeno puede suceder cuando una onda que se propaga en un medio choca con una barrera física, perpendicular a la dirección de propagación, que le impide seguir avanzando. Cuando la onda choca con esta barrera se refleja y empieza a avanzar en la misma dirección que lo hacía anteriormente pero con sentido contrario. Pues bien, cuando la onda incidente (roja) choca con la barrera de tal modo que el punto de contacto sea un nodo o un vientre (cresta o valle), la onda resultante (negra), fruto de la superposición de las otras dos anteriores, es una onda estacionaria. Observa que, mientras las ondas rosa y azul presentan un patrón de movimiento (una se desplaza hacia la derecha y la otra hacia la izquierda), la roja presenta un patrón estacionario ( no hay desplazamiento del patrón ni hacia la derecha ni hacia la izquierda ). De ahí la clasificación de ondas como ondas viajeras y estacionarias.

Puedes mover la posición de los puntos para ver el efecto que tiene sobre cada punto del medio la onda estacionaria.

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ONDAS ESTACIONARIAS

4. ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS FIJAS Y EN TUBOS ABIERTOS POR UNO O DOS LADOS

ONDA ESTACIONARIA - INSTRUMENTOS MUSICALES

Para que se produzca una onda estacionaria, la onda originaria debe tener una longitud de onda talque desde el origen, donde se produce, hasta el extremos en que tiene lugar su reflexión pueda entrar un número entero de semilontidudes de onda.

Esto nos permite determinar las longitudes de onda que pueden dar lugar a una onda estacionaria.

ONDAS ESTACIONARIAS EN INSTRUMENTOS MUSICALES

Muchos instrumentos musicales producen ondas estacionarias:

Instrumentos de cuerda: Ondas estacionarias con nodos en los dos extremos.

Instrumentos de viento: Vientre en uno (clarinete: un extremo abierto y otro cerrado) o en los dos extremos (flauta)

ARMÓNICOS EN INSTRUMENTOS DE CUERDA

Al hacer vibrar una cuerda se produce una onda estacionaria cuando la cuerda es suficientemente corta y se halla suficientemente tensa, como ocurre en los instrumentos musicales de cuerda.

Por otra parte tenemos que tener en cuenta que los extremos fijos imponen una fuerte restricción geométrica al obligar a la onda estacionaria a colocar un nodo en cada extremo.

Ondas estacionarias. Armónico fundamental

Así, en instrumentos de tubo abierto o en una cuerda fija por uno de sus extremos darán lugar a ondas estacionarias aquellas que cumplan con la condición:

Dado que n = 1, 2, 3…, y dado que λ=v/f , donde v es la velocidad de propagación de la onda: 

Es decir, dando a n los valores 1, 2, 3…, obtenemos las posibles frecuencias que darían lugar al establecimiento de ondas estacionarias. Dichas frecuencias reciben el nombre de armónicos.

Ondas estacionarias. Armónicos instrumentos cuerda

ARMÓNICOS EN INSTRUMENTOS DE AIRE

Cuando se produce una vibración sonora dentro de un tubo se produce espontáneamente una onda estacionaria. No importa si el tubo está cerrado o abierto. Es el caso típico de los instrumentos de viento (flauta, oboe, clarinete, trompeta, tuba).

Para comprender el proceso de la formación de la onda estacionaria hay que recordar que el sonido es una onda de tipo longitudinal. Las moléculas de aire vibran en la dirección de propagación de la onda, de modo que en un extremo cerrado debemos encontrar un nodo (movimiento longitudinal nulo), en cambio en un extremo abierto un vientre (movimiento longitudinal máximo). Si hiciésemos una descripción en función de la presión del aire (ondas de presión) obtendríamos el perfil opuesto (donde la vibración tiene un nodo la presión un vientre, y viceversa).

El aire vibra de un modo fundamental, y también -en menor medida- en otros modos resonantes menores, pero cuya importancia musical no se puede ignorar. Empecemos con un tubo abierto en ambos extremos.

INSTRUMENTOS DE TUBO ABIERTO (Flauta)

Así, en instrumentos de tubo abierto, al igual que en los de cuerda fija darán lugar a ondas estacionarias aquellas que cumplan con la condición:

Dado que n = 1, 2, 3…, y dado que λ=v/f , donde v es la velocidad de propagación de la onda: 

Es decir, dando a n los valores 1, 2, 3…, obtenemos las posibles frecuencias que darían lugar al establecimiento de ondas estacionarias. Dichas frecuencias reciben el nombre de armónicos.

Ondas estacionarias. Armónicos en tubos abiertos.

INSTRUMENTOS DE TUBO CERRADO (Clarinete)

En instrumentos de tubo cerrado tendremos un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el abierto, los armónicos producidos en este tipo de instrumentos son de frecuencia impar. Por ello darán lugar a ondas estacionarias aquellos que cumplan con la condición:

Ondas estacionarias. Armónicos en tubos abiertos-cerrados

Como ves, en dos tubos de igual largo, el que está tapado en un extremo tiene una frecuencia de resonancia igual a la mitad del que está abierto, de modo que suena una octava más grave. Para un determinado armónico, si disminuimos la longitud de la cuerda, aumenta la frecuencia de la vibración y el sonido que produce es más agudo.

 

 

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